Nature d'un quadrilatère (2) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points \(\text A(\sqrt{3}-i ), \text B(\sqrt{3}+i)\) et \(\text C(2i)\) .  Quelle est la nature du quadrilatère \(\text O\text A\text B\text C\) ?

Solution

\(z_{\vec{\text A\text B}} = z_\text B - z_\text A = \sqrt{3} + i -(\sqrt{3}-i) = 2i\)

\(z_{\vec{\text O\text C}} z_\text C - z_0 = 2i - 0 = 2i\)

Donc \(z_{\vec{\text A\text B}} = z_{\vec{\text O\text C}}\)  donc \(\vec{\text A\text B} = \vec{\text O\text C}\) .

Donc \(\text A\text B\text C\text O\)  est un parallélogramme.

De plus,
\(\dfrac{z_\text B - z_0}{z_\text C - z_\text A} = \dfrac{\sqrt{3}+i}{2i - (\sqrt{3}-i)} = \dfrac{\sqrt{3}+i}{-\sqrt{3}+3i}= \dfrac{(\sqrt{3+i})(-\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \dfrac{-3 -3 \sqrt{3} i - \sqrt{3}i + 3}{12}= \dfrac{-4 \sqrt{3}i}{12}= - \dfrac{\sqrt{3}}{3} i \in i \mathbb{R}\)

Donc les droites \((\text O\text B)\) et \((\text A\text C)\) (qui portent les diagonales du quadrilatère \(\text O\text A\text B\text C\) ) sont perpendiculaires.

Finalement, \(\text O\text A\text B\text C\) est un losange.